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Uma equação linear desconhecida

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Vasya tem 2 maçãs. Masha tem 3 maçãs. Quantas maçãs tem caras?

Vasya tem 2 maçãs. Masha tem 2 maçãs vermelhas e 1 verde. Quantas maçãs tem caras?

Vasya tinha 5 maçãs. Ele deu 3 maçãs a Masha. Quantas maçãs deixou Vasya?

Vasya tinha 3 maçãs. Ele deu a Masha 3 maçãs e prometeu trazer outras 5. Quantas maçãs Vasya deixou?

Vasya deve Pete 5 maçãs. Masha foi presenteado com 3 maçãs. Quantas maçãs tem caras?

Resumo da lição "Uma equação linear com um desconhecido"

· Lembre-se dos conceitos básicos associados a equações desse tipo,

· Considere algumas tarefas para aplicar conhecimento sobre este tópico.

Para começar, vamos lembrar que uma igualdade contendo uma variável é chamada equação variável simples. A variável na equação também é chamada desconhecido.

O valor da variável, em que a equação se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, é chamado a raiz (ou decisão) equações.

Resolva a equação - significa encontrar todas as suas raízes ou provar que elas não são.

Vamos fazer um simples tarefa.

Responda a pergunta: o número 5 é a raiz da equação?

Você também deve estar ciente de que as duas equações são chamadas equivalentese cada raiz da primeira equação é a raiz da segunda, e vice-versa, cada raiz da segunda equação é a raiz da primeira, ou seja, ambas as equações têm as mesmas raízes.

Equações também são equivalentes não tem raízes.

são equivalentes, pois ambos têm uma raiz igual a 3.

Substitua a equação por uma equação equivalente com coeficientes inteiros.

Para substituir esta equação por equivalente, mas com coeficientes inteiros, multiplicamos os lados esquerdo e direito por 10. Como resultado, obtemos:

Agora lembre-se propriedades básicasque são usados ​​na resolução de equações.

Então primeiro propriedade: se na equação nós transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal para o oposto, obtemos uma equação equivalente a esta.

Segundo propriedade: Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, então obteremos equações equivalentes às originais..

Agora vamos passar para equações lineares com um desconhecido.

Então equação linear com uma variável (com um desconhecido) é uma equação do formulário:

onde está a variável (desconhecido).

Se na equação, então esta equação é chamada equação de primeiro grau.

Vamos resolver a equação.

São possíveis três casos.

a).

A primeira equação é:

A seguinte equação:

Lembre-se de que equações desse tipo têm infinitas raízes. Então, a solução para a equação original é qualquer número.

A seguinte equação:

Preste atenção, não importa o número que substituímos asempre obtemos a igualdade errada. Portanto, esta equação não tem raízes.

E resolva a última equação:

Ou seja nossa equação tem raiz únicaqual é 6.

Nesta lição, cobrimos o tópico «equação linear com um desconhecido ". Lembramos os conceitos básicos associados a equações desse tipo. E também examinou algumas tarefas para aplicar conhecimento sobre este tópico.

Exemplos de resolução de equações

Hoje estamos lidando com equações lineares e apenas as mais simples. Em geral, uma equação linear significa qualquer igualdade que contenha exatamente uma variável e vai apenas até o primeiro grau.

Tais projetos são resolvidos aproximadamente o mesmo:

  1. Primeiro de tudo, você precisa abrir os colchetes, se houver (como no nosso último exemplo),
  2. Então reúna
  3. Por fim, isole a variável, ou seja, tudo relacionado à variável - os termos em que ela está contida - deve ser transferido para um lado, e tudo o que for deixado sem ele deve ser transferido para o outro lado.

Então, por via de regra, é necessário dar as semelhanças em cada lado da igualdade obtida, e depois disto permanece só dividir pelo coeficiente de "X", e obteremos a resposta final.

Em teoria, isso parece bonito e simples, mas, na prática, até estudantes experientes do ensino médio podem cometer erros ofensivos em equações lineares bastante simples. Normalmente, erros são cometidos ao abrir os suportes ou ao calcular as vantagens e desvantagens.

Além disso, acontece que uma equação linear não tem nenhuma solução, ou então que a solução é toda a linha numérica, ou seja, qualquer número. Vamos analisar essas sutilezas na lição de hoje. Mas nós começaremos, como você já entendeu, com as tarefas mais simples.

Esquema de resolver as equações lineares mais simples

Para começar, deixe-me escrever novamente todo o esquema para resolver as equações lineares mais simples:

  1. Nós abrimos os colchetes, se houver.
  2. Nós isolamos as variáveis, ou seja, tudo o que contém "X" é transferido em uma direção e sem "X" na outra.
  3. Nós damos termos semelhantes.
  4. Nós dividimos tudo pelo coeficiente de "X".

É claro que esse esquema nem sempre funciona, tem certas sutilezas e truques, e agora vamos conhecê-los.

Nós resolvemos exemplos reais de equações lineares simples

No primeiro passo, somos obrigados a abrir os parênteses. Mas eles não estão neste exemplo, então pulamos esse estágio. Na segunda etapa, precisamos isolar as variáveis. Por favor, note: estamos falando apenas sobre termos individuais. Vamos escrever:

Damos termos semelhantes à esquerda e à direita, mas aqui já está feito. Portanto, passamos para a quarta etapa: dividir por um coeficiente:

Então nós temos a resposta.

[5 left (x + 9 right) = 5x + 45 ]

Nesta tarefa, podemos observar os colchetes, então vamos expandi-los:

Tanto à esquerda quanto à direita, vemos aproximadamente a mesma construção, mas vamos agir de acordo com o algoritmo, ou seja, nós isolamos variáveis:

Quais são as raízes disso? Resposta: para qualquer Portanto, podemos escrever que $ x $ é qualquer número.

A terceira equação linear já é mais interessante:

[ left (6-x right) + left (12 + x right) - left (3-2x right) = 15 ]

Existem vários colchetes aqui, mas eles não se multiplicam por nada, eles só têm sinais diferentes na frente deles. Vamos revelá-los:

Realizamos o segundo passo já conhecido por nós:

Realizamos o último passo - dividimos tudo pelo coeficiente de "X":

O que você precisa lembrar ao resolver equações lineares

Se nos distrairmos de tarefas muito simples, então eu gostaria de dizer o seguinte:

  • Como eu disse acima, nem toda equação linear tem uma solução - às vezes simplesmente não há raízes,
  • Mesmo se houver raízes, entre elas zero pode ser esclarecido - não há nada de errado com isso.

Zero é o mesmo número que o resto, você não deve discriminá-lo de alguma forma ou assumir que se você obtiver zero, então você fez algo errado.

Outra característica associada à divulgação de chaves. Por favor note: quando eles têm um sinal de menos na frente deles, então nós removê-lo, mas nós mudamos os sinais entre parênteses para oposto. E então podemos abri-lo de acordo com algoritmos padrão: obtemos o que vimos nos cálculos acima.

Entender este fato simples permitirá que você evite erros estúpidos e ofensivos no ensino médio, quando a implementação de tais ações for tomada como garantida.

Resolvendo equações lineares complexas

Vamos passar para equações mais complexas. Agora as construções se tornarão mais complicadas e uma função quadrática surgirá durante várias transformações. No entanto, não se deve ter medo disso, porque se, de acordo com a intenção do autor, resolvermos a equação linear, então, no processo de conversão, todos os monômios contendo uma função quadrática serão necessariamente reduzidos.

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Obviamente, a primeira coisa a fazer é abrir os colchetes. Vamos fazer isso com muito cuidado:

[12- left (x-6x cdot x right) = 3x cdot 2x-3x + 2x ]

Agora vamos fazer a solidão:

Obviamente, esta equação não tem soluções, portanto, na resposta, escrevemos:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

Nós executamos as mesmas ações. Primeiro passo:

[8 cdot 2x-8- left (5 cdot 3 x + 5 cdot 0.8 right) = x-4 ]

[16x-8- left (15x + 4 right) = x-4 ]

Transferimos tudo com a variável para a esquerda e, sem ela, para a direita:

Obviamente, esta equação linear não tem solução, portanto, escrevemos

ou sem raízes.

Nuances da solução

Ambas as equações são completamente resolvidas. Usando o exemplo dessas duas expressões, estávamos novamente convencidos de que, mesmo nas equações lineares mais simples, tudo pode não ser tão simples: pode haver uma, ou nenhuma, ou infinitamente muitas raízes. No nosso caso, consideramos duas equações, simplesmente não há raízes em ambas.

Mas gostaria de chamar sua atenção para outro fato: como trabalhar com colchetes e como abri-los se houver um sinal de menos na frente deles. Considere esta expressão:

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Antes de divulgar, você precisa multiplicar tudo por "X". Por favor note: multiplica cada termo individual. Dentro há dois termos - respectivamente, dois termos e multiplicados.

E somente depois que essas transformações aparentemente elementares, mas muito importantes e perigosas, forem concluídas, você poderá abrir o colchete em termos do fato de que há um sinal de menos depois dele. Sim, sim: só agora, quando as transformações estão concluídas, lembramos que o sinal de menos está na frente dos parênteses, o que significa que tudo o que está no fundo simplesmente muda de sinal. Neste caso, os parênteses desaparecem e, mais importante, a frente “menos” também desaparece.

Nós fazemos o mesmo com a segunda equação:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

Não é por acaso que presto atenção a esses pequenos fatos aparentemente insignificantes. Porque a solução de equações é sempre uma sequência de transformações elementares, onde a incapacidade de realizar ações simples de forma clara e correta leva ao fato de que os alunos do ensino médio vêm até mim e novamente aprendem a resolver equações tão simples.

Naturalmente, o dia chegará e você aperfeiçoará essas habilidades para automatizar. Você não precisa mais realizar tantas transformações todas as vezes, todas escrevem em uma linha. Mas enquanto você está apenas aprendendo, você precisa escrever cada ação separadamente.

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

O que vamos resolver é difícil chamar a tarefa mais simples, mas o significado permanece o mesmo.

[ left (7x + 1 right) left (3x-1 right) -21 <^<2>>=3]

Vamos multiplicar todos os elementos da primeira parte:

[7x cdot 3x + 7x cdot left (-1 right) +1 cdot 3x + 1 cdot left (-1 right) -21 <^<2>>=3]

Vamos fazer alguma privacidade:

Execute o último passo:

Aqui está a nossa resposta final. E, apesar do fato de que no processo de resolver os coeficientes com uma função quadrática surgiram, no entanto, eles se aniquilaram mutuamente, o que torna a equação linear, não quadrada.

[ left (1-4x right) left (1-3x right) = 6x left (2x-1 right) ]

Vamos completar cuidadosamente o primeiro passo: multiplicamos cada elemento do primeiro colchete por cada elemento do segundo. No total, quatro novos termos devem ser obtidos após as transformações:

[1 cdot 1 + 1 cdot left (-3x right) + left (-4x right) cdot 1+ left (-4x right) cdot left (-3x right) = 6x cdot 2x + 6x cdot left (-1 right) ]

E agora, execute cuidadosamente a multiplicação em cada termo:

Nós transferimos os termos com "X" para a esquerda e sem - para a direita:

Nós damos termos semelhantes:

Mais uma vez recebemos a resposta final.

Sobre soma algébrica

No último exemplo, gostaria de lembrar aos alunos o que é uma soma algébrica. Na matemática clássica, por $ 1-7 $ queremos dizer uma construção simples: subtraímos sete de uma unidade. Em álgebra, queremos dizer com isso o seguinte: para o número “unidade”, acrescentamos outro número, a saber, “menos sete”. Isso difere a soma algébrica da aritmética usual.

Tão logo quando você completar todas as transformações, cada adição e multiplicação, você começa a ver construções similares àquelas descritas acima, você simplesmente não terá nenhum problema em álgebra ao trabalhar com polinômios e equações.

Em conclusão, vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos que serão ainda mais complexos do que aqueles que acabamos de examinar, e para resolvê-los teremos que expandir ligeiramente nosso algoritmo padrão.

Resolvendo Equações de Frações

Para resolver esses problemas, mais um passo terá que ser adicionado ao nosso algoritmo. Mas primeiro vou lembrar nosso algoritmo:

  1. Expanda os parênteses.
  2. Variáveis ​​separadas
  3. Traga os gostos.
  4. Divida pelo coeficiente.

Infelizmente, esse algoritmo maravilhoso, com toda a sua eficácia, não é totalmente apropriado quando temos frações. E no que veremos abaixo, temos uma fração nas duas equações à esquerda e à direita.

Como trabalhar neste caso? Sim, tudo é muito simples! Para fazer isso, você precisa adicionar mais um passo ao algoritmo, que pode ser executado antes e depois da primeira ação, ou seja, livrar-se das frações. Assim, o algoritmo será o seguinte:

  1. Livre-se das frações
  2. Expanda os parênteses.
  3. Variáveis ​​separadas
  4. Traga os gostos.
  5. Divida pelo coeficiente.

O que significa se livrar das frações? E por que isso pode ser feito depois e antes do primeiro passo padrão? De fato, no nosso caso, todas as frações são numéricas pelo denominador, ou seja, em todo lugar no denominador é apenas um número. Portanto, se multiplicarmos ambos os lados da equação por esse número, então nos livraremos das frações.

Vamos nos livrar das frações nessa equação:

Por favor, note: por "quatro" tudo é multiplicado uma vez, ou seja, Se você tiver dois colchetes, isso não significa que cada um deles precisa ser multiplicado por “quatro”. Nós escrevemos:

[ left (2x + 1 right) left (2x-3 right) = left (<^ <2 >> -1 right) cdot 4 ]

[2x cdot 2x + 2x cdot left (-3 right) +1 cdot 2x + 1 cdot left (-3 right) = 4 <^<2>>-4]

Nós fazemos a solidão da variável:

Nós realizamos a redução de tais termos:

[- 4x = -1 left | : left (-4 right) right. ]

Nós temos a solução final, vamos para a segunda equação.

Aqui executamos as mesmas ações:

[1 cdot 1 + 1 cdot 5x + left (-x right) cdot 1+ left (-x right) cdot 5x + 5 <^<2>>=5]

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria contar hoje.

Pontos-chave

As principais descobertas são as seguintes:

  • Conheça o algoritmo para resolver equações lineares.
  • Capacidade de abrir colchetes.
  • Não se preocupe se você tiver funções quadráticas em algum lugar, muito provavelmente, no processo de novas transformações, elas serão reduzidas.
  • As raízes nas equações lineares, mesmo as mais simples, são de três tipos: uma única raiz, a linha inteira é uma raiz, não há raízes.

Espero que esta lição ajude você a dominar um tópico simples, mas muito importante, para entender melhor toda a matemática. Se algo não estiver claro, acesse o site, resolva os exemplos ali apresentados. Fique conosco, você vai encontrar muitas coisas mais interessantes!

Adição ou subtração com desconhecido

Os caras têm 5 maçãs no total, 3 das quais serão comidas por Masha. Quanto vai Vasya comer?

Vasya deu a Masha 2 maçãs. Ele tem 3 maçãs sobrando. Quantas maçãs Vasya tinha?

Vasya tinha 5 maçãs. Depois que ele compartilhou com Masha, ele deixou 3 maçãs. Quantas maçãs Vasya deu?

Anedota para o tópico. Um professor reclama para um colega: Quão estúpidos são meus alunos. Uma vez que eu explico, eles não entendem, a segunda vez que eu explico - eles não entendem novamente, a terceira vez que eu explico - eu já estou começando a entender, mas eles não entendem tudo!

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