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Converta e simplifique expressões mais complexas com raízes

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Quando nos familiarizamos com a raiz na escola, estudamos o conceito de expressões irracionais. Tais expressões estão intimamente relacionadas às raízes.

Expressões irracionais São expressões que possuem uma raiz. Isto é, estas são expressões que possuem radicais.

Com base nessa definição, temos que x - 1, 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3, 7 - 4 · 3 · (2 ​​+ 3), 4 · a 2 d 5: d 9 2 · a 3 5 - estas são todas expressões de um tipo irracional.

Quando consideramos a expressão x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 obtemos que a expressão é racional. Expressões racionais incluem polinômios e frações algébricas. Os irracionais incluem o trabalho com expressões logarítmicas ou expressões enraizadas.

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No início da lição, vamos repetir as propriedades básicas das raízes quadradas e, em seguida, considerar alguns exemplos complexos para simplificar as expressões que contêm raízes quadradas.

Se você tiver dificuldade em entender o tópico, recomendamos que consulte a lição “Simplificação de expressões”

Repetindo propriedades de raiz quadrada

Repetimos brevemente a teoria e lembramos as propriedades básicas das raízes quadradas.

Propriedades das raízes quadradas:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Exemplos para simplificar expressões com raízes

Vamos seguir para exemplos de uso dessas propriedades.

Exemplo 1 Simplifique a expressão.

Solução Para simplificar, o número 120 deve ser decomposto em fatores simples:

. Vamos revelar o quadrado da soma de acordo com a fórmula correspondente:

.

Exemplo 2 Simplifique a expressão.

Solução Levamos em conta que essa expressão não faz sentido para todos os valores possíveis da variável, uma vez que as raízes quadradas e as frações estão presentes nesta expressão, o que leva a um “estreitamento” do intervalo de valores permitidos. ODZ :).

Damos a expressão entre parênteses ao denominador comum e escrevemos o numerador da última fração como a diferença de quadrados:

.

A resposta..

Exemplo 3 Simplifique a expressão.

Solução Pode ser visto que a segunda faixa do numerador tem uma aparência desconfortável e precisa ser simplificada, vamos tentar fatorar usando o método de agrupamento.

. Para ser capaz de fatorar um fator comum, simplificamos as raízes fatorando-as. Substitua a expressão resultante na fração original:

. Depois de reduzir a fração, aplicamos a fórmula da diferença de quadrados.

Um exemplo de se livrar da irracionalidade

Exemplo 4 Para se livrar da irracionalidade (raízes) no denominador: a).

Solução a) Para se livrar da irracionalidade no denominador, o método padrão de multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo fator conjugado ao denominador é usado (a mesma expressão, mas com o sinal oposto). Isso é feito para suplementar o denominador da fração com a diferença dos quadrados, o que permite livrar-se das raízes no denominador. Nós executamos esta técnica no nosso caso:

.

b) realizamos ações semelhantes:

.

A resposta..

Um exemplo da prova e da alocação de um quadrado completo em um radical complexo

Exemplo 5 Prove a igualdade.

Prova Usamos a definição da raiz quadrada, da qual se segue que o quadrado da expressão correta deve ser igual à expressão da raiz:

. Nós revelamos os parênteses de acordo com a fórmula do quadrado da soma:

obteve a verdadeira igualdade.

Exemplo 6 Simplifique a expressão.

Solução A expressão indicada é geralmente chamada de radical complexo (raiz sob a raiz). Neste exemplo, você deve adivinhar para selecionar o quadrado completo da expressão raiz. Para isso, notamos que dos dois termos, e para o papel do segundo - 1.

. Substitua esta expressão na raiz:

.

A resposta..

Nesta lição, terminamos o tópico “Função. As propriedades da raiz quadrada ”, e na próxima lição começamos o novo tópico“ números reais ”.

Referências

1. Bashmakov M.I. Álgebra nota 8. - M .: Educação, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA e outras álgebra 8. - 5ª ed. - M .: Educação, 2010.

3. Nikolsky S.M., M. Potapov A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Álgebra nota 8. Livro didático para instituições de ensino. - M .: Educação, 2006.

Links recomendados adicionais para recursos da Internet

1. O portal da Internet xenoid.ru (Fonte).

2. Escola Matemática (Fonte).

3. Portal da Internet XReferat.Ru (Fonte).

Dever de casa

1. N ° 357, 360, 372, 373, 382. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA e outras álgebra 8. - 5ª ed. - M .: Educação, 2010.

2. Livre-se da irracionalidade no denominador: a).

3. Simplifique a expressão: a).

4. Prove a identidade.

Se você encontrar um erro ou um link quebrado, entre em contato conosco - faça sua contribuição para o desenvolvimento do projeto.

Os principais tipos de transformações de expressões irracionais

Ao calcular essas expressões, é necessário prestar atenção ao DLD. Frequentemente, eles exigem transformações adicionais na forma de colchetes de abertura, lançando membros, grupos e assim por diante semelhantes. A base de tais transformações é ações com números. Transformações de expressões irracionais seguem uma ordem estrita.

Converta a expressão 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3.

Você deve substituir o número 9 por uma expressão contendo a raiz. Então nós conseguimos

81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3

A expressão resultante tem termos semelhantes, portanto, realizamos a redução e o agrupamento. Obter

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
A resposta é: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

Apresente a expressão x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 na forma de um produto de dois irracionais usando as fórmulas de multiplicação abreviada.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Nós representamos 9 na forma de 3 2, e aplicamos a fórmula da diferença de quadrados:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2

O resultado das transformações idênticas levou ao produto de duas expressões racionais que precisavam ser encontradas.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Você pode executar várias outras transformações relacionadas a expressões irracionais.

Converter a expressão da raiz

É importante que a expressão sob o signo da raiz possa ser substituída por um identicamente igual a ela. Esta declaração torna possível trabalhar com a expressão radical. Por exemplo, 1 + 6 pode ser substituído por 7 ou 2 · a 5 4 - 6 por 2 · a 4 · a 4 - 6. Eles são idênticos, portanto, a substituição faz sentido.

Quando não há a 1 diferente de a, onde uma desigualdade da forma a n = a 1 n é verdadeira, então tal igualdade é possível somente para a = a 1. Os valores de tais expressões são iguais a quaisquer valores das variáveis.

Usando as propriedades da raiz

As propriedades raiz são usadas para simplificar expressões. Para aplicar a propriedade a · b = a · b, onde a ≥ 0, b ≥ 0, então da forma irracional 1 + 3 · 12 podemos nos tornar idênticos a 1 + 3 · 12. Propriedade. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · ,. . . , · N k, onde a ≥ 0 indica que x 2 + 4 4 3 pode ser escrito no formato x 2 + 4 24.

Existem algumas nuances na transformação de expressões radicais. Se houver uma expressão, então - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 não podemos escrever, uma vez que a fórmula a b n = a n b n serve apenas para a não negativa ae positiva b. Se a propriedade é aplicada corretamente, obtemos uma expressão da forma 7 4 81 4.

Para a transformação correta, são usadas transformações de expressões irracionais usando as propriedades das raízes.

Introduzindo um multiplicador sob o sinal de raiz

Digite sob o sinal de raiz - significa substituir a expressão B · C n, e B e C são alguns números ou expressões, onde n é um número natural que é maior que 1, uma expressão igual que tem a forma B n · C n ou - B n · C n.

Se simplificarmos a expressão da forma 2 x 3, então, depois de entrarmos sob a raiz, obtemos 2 3 x 3. Tais transformações só são possíveis após um estudo detalhado das regras para a introdução de um fator sob o sinal da raiz.

Extração do fator sob o sinal da raiz

Se há uma expressão da forma B n · C n, então ela é reduzida para a forma B · C n, onde existem números ímpares n, que tomam a forma B · C n com pares n, B e C são alguns números e expressões.

Isto é, se tomarmos uma expressão irracional da forma 2 3 x 3, retire o fator de baixo da raiz, então obtemos a expressão 2 x 3. Ou x + 1 2 · 7 resultará em uma expressão da forma x + 1 · 7, que possui outra notação na forma x + 1 · 7.

Puxar o fator de baixo da raiz é necessário para simplificar a expressão e transformá-la rapidamente.

Converter frações contendo raízes

Uma expressão irracional pode ser um número natural ou uma fração. Para converter expressões fracionárias, muita atenção é dada ao seu denominador. Se tomarmos uma fração da forma (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, então o numerador tomará a forma 5 x 4, e usando as propriedades das raízes, obtemos que o denominador se torna x 2 + 5 6. A fração inicial pode ser escrita na forma 5 x 4 x 2 + 5 6.

É necessário atentar para o fato de que é necessário alterar o sinal apenas do numerador ou apenas do denominador. Nós entendemos isso

- x + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - (- 3 · x 2 + 7 4) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4

A redução de frações é mais usada na simplificação. Nós entendemos isso

3 · x + 4 3 - 1; x x + 4 3 - 1 3 reduzimos por x + 4 3 - 1. Obtemos a expressão 3 x x + 4 3 - 1 2.

Antes da redução, é necessário realizar transformações que simplifiquem a expressão e possibilitem fatorar a expressão complexa. As fórmulas mais usadas são a multiplicação abreviada.

Se tomarmos uma fração da forma 2 · x - y x + y, então é necessário introduzir novas variáveis ​​u = x e v = x, então a expressão dada mudará a forma e se tornará 2 · u 2 - v 2 u + v. O numerador deve ser decomposto em polinômios pela fórmula, então nós temos que

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) u + v u + v = 2 · u - v. Depois de realizar a substituição reversa, chegamos à forma 2 · x - y, que é igual à original.

Redução para um novo denominador é permitido, então é necessário multiplicar o numerador por um fator adicional. Se tomarmos uma fração da forma x 3 - 1 0, 5 · x, então trazemos para o denominador x. para isso você precisa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão 2 · x, então nós obtemos a expressão x 3 - 1 0, 5 x = 2 x 3 x 1 x 5 x 2 x x 2 x 2 x - 1 x

A redução de frações ou redução de frações semelhantes é necessária só no ODZ da fração indicada. Quando multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão irracional, percebemos que nos livramos da irracionalidade no denominador.

Transição de raízes para graus

Transições de raízes para graus são necessárias para a conversão rápida de expressões irracionais. Se considerarmos a igualdade a m n = a m n, então podemos ver que seu uso é possível quando a é um número positivo, m é um inteiro e n é um número natural. Se considerarmos a expressão 5 - 2 3, então, caso contrário, temos o direito de escrevê-la como 5 - 2 3. Essas expressões são equivalentes.

Quando há um número negativo ou um número com variáveis ​​sob a raiz, a fórmula a m n = a m n nem sempre é aplicável. Se for necessário substituir tais raízes com (- 8) 3 5 e (- 16) 2 4 graus, então obtemos que - 8 3 5 e - 16 2 4 pela fórmula a m n = a m n não funcionam com a negativo. A fim de analisar em detalhes o tema das expressões radicais e suas simplificações, é necessário estudar o artigo sobre a transição das raízes para graus e vice-versa. Deve ser lembrado que a fórmula a m n = a m n não é aplicável a todas as expressões deste tipo. Livrar-se da irracionalidade contribui para uma maior simplificação da expressão, sua transformação e solução.

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